96. Determinant. Invers matris (Ch 42.23-34)

Kvadratisk matris, typ n × n (lika många rader som kolonner)

A = [ a_{11} … a_{1n} ; ⋮ ; a_{n1} … a_{nn} ] = [a_{1}, …, a_{n}] ; \begin{matrix}↑ & ↑ \\ a_{1} & a_{n} \end{matrix}

Kom ihåg “volymsfunktionen” i R^{2} och R^{3}. I R^{2} kryssprodukten:

V (a_{1}, a_{2}) = a_{1} × a_{2} = a_{11}a_{22} − a_{21}a_{12} = | \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |

Egenskaper: V (a_{1}, a_{2}) = ± arean av parallellogram V (e_{1}, e_{2}) = 1 = arean av enhetskvadraten V (a_{2}, a_{1}) = −V (a_{1}, a_{2})

\{ \begin{matrix}V (αa_{1} + βb_{1}, a_{2}) = αV (a_{1}, a_{2}) + βV (b_{1}, a_{2}) \\ V (a_{1}, αa_{2} + βb_{2}) = αV (a_{1}, a_{2}) + βV (a_{1}, b_{2}) \end{matrix} bilinjär (linjär i båda variablerna)

I R^{3} trippelprodukten:

V (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = a_{1} · (a_{2} × a_{3}) = | \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} |

= a_{11} | \begin{matrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} | − a_{12} | \begin{matrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} | + a_{13} | \begin{matrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} |

= a_{11}(a_{22}a_{33} − a_{23}a_{32}) − a_{12}(a_{21}a_{33} − a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} − a_{22}a_{31})

Egenskaper: V (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = ± volymen av parallellepiped V (e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 1 = | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | = volymen av enhetskuben

V (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = −V (a_{2}, a_{1}, a_{3}), osv, alternerande trilinjär (linjär i alla tre variablerna) Man kan definiera en volymsfunktion i n variabler som har samma egenskaper, dvs alternerande, multilinjär med V (e_{1}, …, e_{n}) = 1, se (42.51):

V (a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) = ∑_{π} ±a_{π(1)1} ⋯ a_{π(n)n}

Vi bryr oss inte om detaljerna i denna definition. Vi noterar bara att V är en summa av produkter av n matriselement, precis ett från varje rad och varje kolumn, med tecknet plus eller minus varannan gång enligt ett visst schema. I R^{2} och R^{3} har V denna form, eller hur? Vi definierar även determinanten av A:

det(A) = V (a_{1}, …, a_{n})

Den skrivs också

det(A) = | a_{11} … a_{1n} ; ⋮ ; a_{n1} … a_{nn} | determinantstreck ↙

I Matlab/Octave: >> D=det(A)

a_{1}  > ; a_{2}  > ; ⋮ ; a_{n}  >  \begin{matrix}V \\ det \end{matrix}  >  V (a_{1}, …, a_{n}) = det(A) (ett tal)

(n st vektorer)

V : \underbrace{R^{n} × … × R^{n}}_{n st} → R

Egenskaper (de flesta utan bevis) (A) det(I) = V (e_{1}, …, e_{n}) = 1 (B) alternerande V (a_{1}, …, \underleftrightarrow{a_{j}, …, a_{k},} …, a_{n}) = (två byter plats) = −V (a_{1}, …, a_{k}, …, a_{j}, …, a_{n})

Konsekvens: två lika a_{j} = a_{k} ⇒ V = −V ⇒ V = 0 (C) \underline{multilinjär} (linjär i varje argument)

V (a_{1}, …, αa_{j} + βb_{j}, …, a_{n}) = αV (a_{1}, …, a_{j}, …, a_{n}) + βV (a_{1}, …, b_{j}, …, a_{n})

(D) transponering

det(A^{T}) = det(A)

(E) \underline{produkt} (med A, B, n × n) det(AB) = det(A) det(B)

(F) \underline{utveckling} (efter rad 1)

\begin{matrix}det(A) = | \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} | \\ = a_{11} | \begin{matrix}a_{22} & … & a_{2n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n2} & … & a_{nn} \end{matrix} | − a_{12} | \begin{matrix}a_{21} & a_{23} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n3} & … & a_{nn} \end{matrix} | + a_{13} | \begin{matrix}a_{21} & a_{24} & … & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n4} & … & a_{nn} \end{matrix} | − … \end{matrix}

mindre determinanter, typ (n − 1) × (n − 1), som sin tur kan utvecklas. Kan utveckla efter godtycklig rad eller kolonn.

(G)

Gauss-elimination Kolonnoperationer av tre slag:

(1) 2 kolonner byter plats ⇒ determinanten byter tecken enligt (B).

(2) multiplicera kolonn med konstant V (a_{1}, …, αa_{j}, …, a_{n}) = αV (a_{1}, …, a_{j}, … a_{n}) bryter ut konstanten ur determinanten enligt (C).

(3) addera multipel av en kolonn till en annan kolonn

V (a_{1}, …, a_{j} + αa_{k}, …, a_{k}, …, a_{n}) = {enligt (C)}

= V (a_{1}, …, a_{j}, …, a_{k}, …, a_{n}) + α \underbrace{V (a_{1}, …, a_{k}, …, a_{k}, …, a_{n})}_{= 0 enligt (B), två lika}

Determinanten ändras ej.

Samma regler gäller för radoperationer, ty det(A^{T}) = det(A).

(H) triangulär matris

| \begin{matrix}a_{11} & & … & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} | = \{utveckla efter kolonn nr 1\}

= a_{11} | \begin{matrix}a_{22} & … & … & a_{2n} \\ 0 & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} | − \underbrace{a_{21}}_{=0} | \begin{matrix}· & · & · \\ · & · & · \\ · & · & · \end{matrix} | + \underbrace{a_{31}}_{=0} | \begin{matrix}· & · & · \\ · & · & · \\ · & · & · \end{matrix} | − …

= a_{11} \underbrace{| \begin{matrix}a_{22} & … & … & a_{2n} \\ 0 & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} |}_{oxå triangulär} = a_{11}a_{22} \underbrace{| \begin{matrix}a_{33} & … & … & a_{3n} \\ 0 & ... & & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & ⋮ \\ 0 & … & 0 & a_{nn} \end{matrix} |}_{oxå triangulär} = … = a_{11}a_{22} … a_{nn}

Determinanten av triangulär matris är lika med produkten av diagonalelementen. Enkelt!! exempel:

| \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} | \begin{aligned}−4 & −1 \\ ↙ \\ & ↙ \end{aligned} = | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −3 & −6 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix} |

= \{ \begin{matrix}bryt ut −3 ur rad 2 \\ bryt ut −1 ur rad 3 \end{matrix} \} = (−3)(−1) | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} | −1 ; ↙

= 3 | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} | = \{triangulär\} = 3 · 1 · 1 · (−1) = −3

Kan också fortsätta till radreducerad form:

3 | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} | = \{bryt ut −1 ur rad 3\} = −3 | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | ↖ ; −2

= −3 | \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{aligned}& ↖ \\ ↖ \\ −2 & 1 \end{aligned} = −3 | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | = −3 det(I) = −3.

exempel: | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = \{Gauss-elim.\} | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −3 & −6 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} | = \{triangulär\} = 1 · (−3) · 0 = 0 Radreducerad form:

| \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −3 & −6 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} | = −3 | \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} | ↖ ; −2 = −3 | \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} | = −3 · 1 · 1 · 0 = 0

I Matlab/Octave: >> Ahat=rref(A) exempel: (samma som ovan)

| \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} | = \{utveckla efter rad 1\}

= 1 | \begin{matrix}5 & 6 \\ 1 & 1 \end{matrix} | − 2 | \begin{matrix}4 & 6 \\ 1 & 1 \end{matrix} | + 3 | \begin{matrix}4 & 5 \\ 1 & 1 \end{matrix} | = (5 − 6) − 2(4 − 6) + 3(4 − 5)

= −1 + 4 − 3 = 0

\underline{Varning!!} Sarrus regel (om du vet vad det är) kan endast användas för determinant av typ 2 × 2 och 3 × 3. Ingår därför ej i denna kurs! Gauss elimination Â = rref(A) ger antingen fall 1 eller fall 2:

fall 1: Â = [ \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & … & 0 & 1 \end{matrix} ] = I (enhetsmatris)

(alla trappsteg i trappstegsmatrisen har bredden ett)

fall 2: Â = [ \begin{matrix}1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ]

(något trappsteg är bredare än ett, vi får ettor början och nollor i slutet av diagonalen)

Av trappstegsformen ser vi att: fall 1:

(a) det(A) = c \underbrace{det (Â)}_{= 1} = c ≠ 0 (talet c är produkten av de konstanter vi brutit ut, Â = I)

(b) kolonnerna a_{1}, …, a_{n} är linjärt oberoende, dvs a_{1}, …, a_{n} är en bas för R^{n}, dvs R(A) = R^{n}, dvs lösning till Ax = y existerar för varje y ∈ R^{n}.

(c) Ax = 0 har endast trivial lösning x = 0, dvs N(A) = {0}, dvs lösningen till Ax = y är unik.

fall 2:

(a) det(A) = c \underbrace{det(Â)}_{= 0} = 0

(b) kolonnerna är linjärt beroende, dvs R(A) ≠ R^{n}, dvs Ax = y är olösbar för vissa y, nämligen y ∉ R(A).

(c) Ax = 0 har icke-trivial lösning x ≠ 0, dvs N(A) ≠ {0}, dvs lösningen till Ax = y är ej unik.

Villkoret det(A) ≠ 0 skiljer mellan fall 1) och fall 2). fall 1: det(A) ≠ 0, A kallas icke-singulär fall 2: det(A) = 0, A kallas singulär. Invers matris. I fall 1 kan vi konstruera en matris X, typ n × n, sådan att

XA = AX = I.  (1)

X kallas inversen till A och tecknas A^{−1}. I Matlab/Octave: >> X=inv(A). Övning: Visa att inversen är unik! Vi konstruerar nu X. Vi börjar med att lösa den första ekvationen i (1), dvs

AX = I

Kolonnvis: I = [e_{1}, …, e_{n}], X = [x_{1}, …, x_{n}], ekvationen för kolonn nr k blir Ax_{k} = e_{k}, dvs

[ \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{nn} \end{matrix} ] [ x_{1k} ; ⋮ ; x_{nk} ] = [ 0 ⋮ 0 1 0 ⋮ 0 ] ← nr k

Gauss-elimination ger rref([A, e_{k}]) = [I, b_{k}], ty Â = I i fall 1, där b_{k} är någon vektor, så att det ekvivalenta systemet Âx_{k} = b_{k} blir Ix_{k} = b_{k}, dvs x_{k} = b_{k}. Det är praktiskt att lösa alla på en gång: AX = I, rref([A, I]) = [I, B], så att ÂX = B blir IX = B, dvs X = B. Nu löser vi den andra ekvationen i (1), dvs Y A = I. Ekvationen transponeras:

A^{T} Y^{T} = I (ty (AB)^{T} = B^{T} A^{T}, I^{T} = I)
rref([A^{T} , I]) = [\underbrace{I}_{fall 1}, C]

så att Y^{T} = C och Y = C^{T}. (Obs: A^{T} tillhör också fall 1, ty det(A^{T}) = det(A) ≠ 0.) Vi har nu funnit unika matriser X, Y sådana att

AX = I, Y A = I.

Enkelt att visa att X = Y:

\underbrace{Y A}_{= I} X = \underbrace{Y I}_{= Y}

Alltså: XA = AX = I, dvs X = A^{−1}.

Invers matris kan oxå beräknas med Cramers regel: se AMBS Ch 42.33.

Sammanfattning. Antag att A, n × n, är en kvadratisk matris. Följande villkor är ekvivalenta:

(a) det(A) ≠ 0

(b) R(A) = R^{n} (existens)

(c) N(A) = {0} (entydighet)

(d) Ax = y har unik lösning för varje y ∈ R^{n}

(e) A har en invers matris A^{−1}.

(f) A’s kolonner a_{1}, …, a_{n} är linjärt oberoende.

Den unika lösningen till Ax = y ges då av formeln x = A^{−1}y. Detta kan också formuleras som att funktionen y = Ax är inverterbar med inversen x = A^{−1}y. Obs: för n × n systemet Ax = y betyder ekvivalensen (b) ⇔ (c) att det räcker att kolla entydighet (c), så får man lösbarhet (b) på köpet. Och vice versa. Detta är mycket användbart: det är ofta lätt att visa entydighet. I praktiken beräknar vi sällan det(A) och A^{−1}. Till exempel, istället för att använda formeln x = A^{−1}y är det mera effektivt att lösa Ax = y med Gauss-elimination. Men det(A) och A^{−1} spelar viktiga roller i matristeorin. Determinanten (= volymsfunktionen) används också vid variabelsubstitution i integraler i flera variabler, som vi ska se i ALA-C.

exempel: A = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ]. Vi har sett att det(A) = −3 ≠ 0. Beräkna A^{−1}.

Vi löser AX = I med Gauss-elimination

[A|I] = [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ] \begin{aligned}−4 & −1 \\ ↙ \\ & ↙ \end{aligned}

[ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & −3 & −6 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −4 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} ] −\frac{1}{3}  [ \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & −1 & −1 \end{matrix} | \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ \frac{4}{3} & −\frac{1}{3} & 0 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} ] \begin{aligned}↖ \\ −2 & 1 \\ & ↙ \end{aligned}

[ \begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}−\frac{5}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ \frac{4}{3} & −\frac{1}{3} & 0 \\ \frac{1}{3} & −\frac{1}{3} & 1 \end{matrix} ] \begin{matrix}& ↖ \\ ↖ \\ −2 & 1 \end{matrix} [Â|X] = [ \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | \begin{matrix}−\frac{4}{3} & \frac{1}{3} & 1 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & −2 \\ \frac{1}{3} & −\frac{1}{3} & 1 \end{matrix} ]

X = [ \begin{matrix}−\frac{4}{3} & \frac{1}{3} & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & −2 \\ \frac{1}{3} & −\frac{1}{3} & 1 \end{matrix} ] = A^{−1}

Övningar. Beräkna det(A) och, om A är icke-singulär, beräkna även A^{−1} och den unika lösningen till Ax = y med formeln x = A^{−1}y.

1. A = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] , y = [\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}]

2. A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}] , y = [\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}]

3. A = [\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{matrix}] , y = [\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}]

4. A = [\begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{matrix}] , y = [\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}]

5. A = [\begin{matrix}71 & 32 & 93 & 33 \\ 0 & 43 & 57 & 58 \\ 0 & 0 & 0 & 66 \\ 0 & 0 & 0 & 13 \end{matrix}] , y = [\begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}]

Svar. Använd Matlab/Octave för att kolla dina räkningar.

2004-01-18 /stig