FO 3 ALA-C 2004

Egenvärdesproblem Sökt: A n × n. Sökt: tal λ, vektor g ≠ 0 sådana att Ag = λg. AP = P D Vi har löst ex. 97.1 A = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]

λ_{1} = 1, λ_{2} = −1 D = dialog(λ, λ_{2}) = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ]

g_{1} = s [ \begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix} ] = \{normala s =(−)^{+} \frac{1}{\sqrt{2}}\} = [ \begin{matrix}1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{matrix} ]

g_{2} = t [ \begin{matrix}−1 \\ 1 \end{matrix} ] = \{t = −^{(+)} \frac{1}{\sqrt{2}}\} = [ \begin{matrix}−1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{matrix} ]  \begin{matrix}↙ [g_{1}, g_{2}] \\ P = [ \frac{1}{\sqrt{2}} −\frac{1}{\sqrt{2}}_{\frac{1}{\sqrt{2}}  \frac{1}{\sqrt{2}}} ] \end{matrix}

Obs: g_{1}, g_{2} är ortogonala (g_{1}, g_{2}) = g_{2}^{T} g_{1} = 0 och normerade ∥g_{1}∥ = 1, ∥g_{2}∥ = 1, dvs {g_{1}, g_{2}} är en ON-bas för ℝ^{2}. Detta kan också uttryckas:

P^{T} P = [ \begin{matrix}g_{1}^{T} \\ g_{2}^{t} \end{matrix} ] [g_{1}, g_{2}] = [ \begin{matrix}1/\sqrt{n} & 1/\sqrt{n} \\ −1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] = I.

Vi säger att P är en ortogonal matris (borde egentligen kallas ortonormerad matris). Detta medför P^{−1} = P^{T} och 1. Koordinattransformation. Vektorn v uttryckt i standardbasen och nya basen:

\begin{matrix}v = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} =_{1} g_{1} + y_{2}g_{2} \\ x = [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ] = x_{i} [ \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} ] + x_{2} [ ] = y_{1} [ ] + Y_{2} [ ] = P y \end{matrix}

Samband mellan gamla x = [ \begin{matrix}x \\ x_{2} \end{matrix} ] och nya komponenter y = [ \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ] x = P y, P = [g_{1}, g_{2}]

x = P y då P = [g_{1}, g_{2}] i nya basen. y = P^{−1} \begin{matrix}= P^{T} x \\ ↑ \\ P^{T} P = I \end{matrix}

Den linjära funktionen: f(x) = Ax = [ ] [ \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}x_{2} \\ x_{1} \end{matrix} ]
X = P y:  \begin{aligned}f(x) & = Ax = AP y = P Dy = P [ \begin{matrix}λ_{1}y_{1} \\ λ_{2}y_{2} \end{matrix} ] = \\ & = λ_{1}y_{1} g_{1} + λ_{2}y_{2} g_{2} \\ f(x) & = A(y_{1}g_{1} + Y_{2}g_{2}) = \\ & = y_{1} \underbrace{Ag_{1}}_{λ_{1}g_{1}} +g_{2}Ag_{2} = λ_{1}Y_{1}g_{1} + λ_{2}y_{2}g_{2} \end{aligned}

Den kvadratiska funktoner

\begin{aligned}g(x) = x^{T} Ax & = [y_{1} y_{2}] [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}y_{1} \\ x_{2} \end{matrix} ] = \\ & = x_{1}x_{2} + x_{2}x_{1} = 2x_{1}x_{2} \end{aligned}

blir i e-vektorbasen

g(x) = (P y)^{T} A(P y) = y^{T} P^{T} \overbrace{AP}^{=P D} y =

= y^{T} Dy = [y_{1} y_{2}] [ \begin{matrix}λ_{1} & 0 \\ 0 & λ_{2} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}y_{1} \\ y_{2} \end{matrix} ]

= λ_{1}y_{1}^{2} + λ_{2}y_{2}^{2} = y_{1}^{2} − y_{2}^{2}

g(g_{1}) = λ_{1} g(g_{2}) = λ_{2}

\frac{g(x)}{x^{T} x} = \frac{x^{T} Ax}{x^{T} x} = \frac{x_{1}y_{1}^{2} + λ_{2}y_{2}^{2}}{y^{T} y} ≤

Det symmetriska e-värdesproblemet

A n × n  kvadratisk reell matris
A^{T} = A  symmetrisk

Sats. E-värdena till en reell kvadratisk matris är reella. Bevis: (1) Ag = λg. Vi ska visa att λ är reellt, dvs λ̄ = λ. Om λ är komplext så kan även g vara komplex vektor. För x = x + iy, |z|^{2} = z̄z = x^{2} + y^{2} komplexa vektorer definieras skalärprodukt

(x, y) = x · y = ȳ^{T} = [ȳ_{1}, …, ȳ_{n}] [ x_{1} ; ⋮ ; x_{n} ] = ȳ_{1}x_{1} + … + ȳ_{n}x_{n}

och längd (norm) ∥x∥ = \sqrt{(x, x)} = \sqrt{x̄_{1}x_{1} + …} = Σ|x_{n}|^{2} . Multiplicera λg = Ag skalärt med g från höger och vänster:

(λ, g)  = (Ag, g)
(g, λg)  = (g, Ag)

Här är

(λ_{g}, g) = ḡ^{T} (λg) = λḡ^{T} g = λ∥g∥^{2}
(g, λg) = \overline{(λg)}^{T} g = λ̄ḡ^{T} g = λ̄∥g∥^{2}
(g, Ag) = (Λ̄)^{T} g = ḡ^{T} Ā^{T} g = ḡ^{T} Ag = (Ag, g)

Alltså: λ \underbrace{∥g∥^{2}}_{≠0} = λ̄ \underbrace{∥g∥^{2}}_{±0} ⇒ λ̄ = λ.

Sats. A reell symmetrisk egenvektorer som hör till olika e-värden är ortogonala. Bevis:

\begin{matrix}Ag_{1} = λg_{1} \\ Ag_{2} = λ_{2}g_{2} \end{matrix} | g_{2} höger g_{1} vänster
(Ag_{1}, g_{2}) = λ_{1}(g_{1}, g_{2})
(g_{1}, Ag_{2}) = λ_{2}(g_{1}, g_{2})

Alltså: λ_{1}(g_{1}, g_{2}) = λ_{2}(g_{1}, g_{2})

⇒ \underbrace{(λ_{1} − λ_{2})}_{≠0}(g_{1}, g_{2}) = 0

⇒ (g_{1}, g_{2}) = 0.

Spectralsatsen Sats. Reell symmetrisk matris A, n × n, har reella e-värden λ_{1}, … λ_{n} och en ON-bas {g_{1}, …, g_{n}} av e-värden. Detta har också uttryckas

P^{T} P = I, P^{T} AP = D

Den kvadratiska funktionen

f(x) = x^{T} Ax =

blir i e-vektorbasen

f(x) = {x = P y} = (P y)^{T} AP y =
= y^{T} P^{T} AP y = y^{T} Dy
= λ^{T} P^{T} AP y = y^{T} Dy

∥x∥^{2} = x^{T} x = (P y)^{T} P y = y^{T} \underbrace{P^{T} P}_{=I} y = y^{T} y = ∥y∥^{2}

λ_{1} ≤ λ_{2} ≤ … ≤ λ_{n}

λ_{1}∥x∥^{2} ≤ x^{T} Ax ≤ λ_{n}(y_{1}^{2} + … y_{n}^{n}) = λ_{n}∥y∥^{2} = λ_{n}∥x∥^{2}

λ_{1} ≤ \frac{x^{T} AX}{x^{T} x} ≤ λ_{n}

x = g_{k} ⇒ \frac{x^{T} Ax}{x^{T} x} = \frac{g_{k}^{T} \overbrace{Ag_{k}}^{λ_{n}g_{n}}}{g_{k}^{T} g_{k}} = λ_{k}

Spektrum!