Frivillig dugga i ALA-C, K/Kf/Bt-1, VT-03

1. Beräkna, i de fall det är möjligt, gradient, divergens, rotation och laplace av a) f(x_{1}, x_{2}) = x_{1}x_{2} + ln(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})

b) f(x_{1}, x_{2}) = (x_{1}^{2}x_{2}, ln(x_{1}^{2} − x_{2}^{2}))

2. Visa, genom direkta räkningar, att ∇ × ∇u = 0, där u : R^{3} → R.

3. Efter linjärisering har vi fått följande dynamiska system:

u′_{1}(t) = u_{2}(t),
u′_{2}(t) = −4u_{1}(t).

Är systemet stabilt?

4. Beräkna

∫ ∫_{D}(x^{2} − y^{2})^{10}dxdy,

där D ges av |x| + |y| ≤ 1, genom att införa nya variabler u = x + y och v = x − y.

5. Visa att funktionen

f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{3} − 3x_{2}x_{3} + x_{3}^{3},

har ett minimum i punkten x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (0, 1, 1).

6. Ett fält ges av f(x, y) = (y, x). Beräkna ∫_{Γ} f · ds,

då Γ är den räta linjen från (1, 2) till (3, 4).