Linjär algebra – övningar

Fredrik Bengzon

Modifierat av Stig Larsson, 2004–01–30

A. Ortogonalprojektion

Problem 1 Låt x = [1, −1, 0, 2]^{T} och y = [3, −1, 1, 1]^{T}.

a. Beräkna x · y.

b. Bestäm vinkeln mellan vektorerna x och y.

c. Beräkna vinkeln mellan vektorerna x − y och x + y.

Problem 2 Låt e = [2, 1, 2, 1]^{T} och w = [1, 2, −3, 4]^{T}. Bestäm talet s så att vektorn se + w blir ortogonal mot e.

Problem 3 Ortogonalisera följande vektorer med Gram-Schmidts metod.

v_{1} = [1, 2, 3]^{T} , v_{2} = [3, 2, 1]^{T} .

Problem 4 Låt e_{1} = [2, 1, 0, 1]^{T}, e_{2} = [0, 2, 1, −2]^{T} och w = [1, 2, 1, 2]^{T}. Visa, att e_{1} och e_{2} är ortogonala och bestäm sedan talen s_{1} och s_{2}, så att vektorn s_{1}e_{1} + s_{2}e_{2} + w blir ortogonal mot både e_{1} och e_{2}.

Problem 5 Låt V vara ett underrum till ℝ^{m} med dimensionen n < m och låt V spännas av kolonnerna i matrisen Q ∈ ℝ^{m×n}. Projektionsmatrisen P för ortogonal projektion på V ges av

P = Q(Q^{T} Q)^{−1}Q^{T} .

Visa, att P = QQ^{T} om kolonnerna i Q är ortonormala. Avancerat: bevisa formeln för P.

Problem 6 Låt

u = [1, 1, 1, 1]^{T} , v = [1, −1, 1, −1]^{T} .

och låt V = S(u, v) vara vektorrummet som spänns upp av u och v.

a. Verifiera att u och v är ortogonala.

b. Normalisera u och v till längden 1. Dessa bildar en ON-bas för V.

c. Bilda (4 × 2) matrisen Q med vektorerna i ON-basen som kolonner. Beräkna Q^{T} Q. Beräkna projektionsmatrisen P = QQ^{T} för ortogonal projektion på V.

d. Bestäm ortogonalprojektionen P w av vektorn w = [1, 2, 3, 4]^{T} på V. Beräkna (w − P w) · u.

Problem 7 Ange ortogonalprojektionen av u = [0, 4, 4, 0]^{T} på det underrum till ℝ^{4}, som genereras av vektorerna

e_{1} = [1, 2, 3, 1]^{T} , e_{2} = [1, −2, 1, 0]^{T} .

B. Egenvärden

Problem 8 Visa, att x = [1, 0]^{T} är en egenvektor till

A = [\begin{matrix}2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix}] .

Vilket egenvärde är associerat med denna egenvektor? Problem 9 Bestäm egenvärdena till matrisen

A = [\begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 9 & 8 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix}] .

Problem 10 Bestäm egenvärdena till matrisen

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \\ 3 & 2 & 1 \end{matrix}] .

Problem 11 Bestäm egenvärden och egenvektorer till

A = [\begin{matrix}1 & 0 \\ 4 & 5 \end{matrix}] .

Problem 12 Givet matriserna

A = [\begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}] , P = \frac{1}{\sqrt{2}} [\begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] .

Visa, att multiplikationen P^{T} AP ger en diagonal matris D. Problem 13 Beräkna egenvärden λ och normaliserade egenvektorer x till

A = \frac{1}{2} [\begin{matrix}7 & 9 \\ 9 & 7 \end{matrix}] .

Problem 14 Visa, att om λ är ett egenvärde till A, så är 1/λ ett egenvärde till A^{−1}.

Svar 1 a. 6 b. π/4 c. arccos(−1/\sqrt{5}) Svar 2 s = −1/5 Svar 3 u_{1} = v_{1}/∥v_{1}∥ = [1, 2, 3]^{T} /\sqrt{14}, u_{2} = [4, 1, −2]^{T} /\sqrt{21}. Svar 4 s_{1} = −1, s_{2} = −1/9 Svar 5 Q:s kolonner är ortonormala dvs. Q^{T} Q = I. Projektionen blir

P = Q(Q^{T} Q)^{−1}Q^{T} = QI^{−1}Q^{T} = QQ^{T} .

Observera att QQ^{T} ≠ I eftersom Q är av typ (m × n). Svar 6 a. - b. - c.

Q = \frac{1}{2} [\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \\ 1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix}] , P = \frac{1}{2} [\begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}] .

d. P w = [2, 3, 2, 3]^{T} Svar 7 \frac{2}{3}[1, 6, 5, 2]^{T} Svar 8 λ = 2 Svar 9 Matrisen A är triangulär, då är även A − λI triangulär, det(A − λI) = (1 − λ)(6 − λ)(9 − λ)(6 − λ)(4 − λ), egenvärdena är lika med diagonalelementen: 1, 6, 9, 6 och 4. Svar 10 −1, 7 och 1. Svar 11 λ_{1} = 1, λ_{2} = 5 och t.ex. x_{1} = [1, −1]^{T}, x_{2} = [0, 1]^{T}, Svar 12 D = diag(−1, 3). Kolonnerna i P är egenvektorerna till A. Svar 13 λ_{1} = −1, λ_{2} = 8 och x_{1} = [−1, 1]^{T} /\sqrt{2}, x_{2} = [1, 1]^{T} /\sqrt{2}. Svar 14 -