Tentamen Analys och linjär algebra, del C TMV035 K1/Kf1/Bt1 030313 V em

Provet består av fem uppgifter som totalt kan ge 50 poäng, för godkänt krävs 25p. Betygsgränser: 3: 25-33, 4: 34-42, 5: 43-50. Hjälpmedel: Inga. Dina lösningar skall vara välskrivna och lätta att följa. Telefonvakt: Tobias Gebäck 0740-459022.

1. Bestäm lösningen u(t) = (u_{1}(t), u_{2}(t)) för t > 0 till problemet:

\{ \begin{matrix}u′_{1}(t) = u_{2}(t) \\ u′_{2}(t) = u_{1}(t) \end{matrix} ,

med begynnelsedata u(0) = (1, 2). (10p)

2 a) Definiera/beskriv vad som menas med nivåkurva Γ_{c} till en funktion f : R^{2} → R. (4p)

b) Visa att gradienten ∇f är ortogonal mot Γ_{c}. (4p)

3 a) Beskriv hur vi m.h.a. dator numeriskt kan beräkna en approximation till en dubbelintegral ∫ ∫_{Ω} f(x_{1}, x_{2})dx_{1}dx_{2}. (6p)

b) Vad kan vi göra för att förbättra approximationen? (2p)

c) Felet hos vår numeriska approximation beror på hur stor integrandens gradient, ∇f, är. När blir felet minst, om funktionen har stor gradient eller liten? Motivera ditt svar! (2p)

4. Betrakta ytan S som ges av parametriseringen s(u, v) = (cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), 2 cos(v)), där u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, π/2].

a) Beskriv S geometriskt. (2p)

b) Beräkna volymen av området mellan S och planet z = 0. (6p)

c) Beräkna flödesintegralen

∫_{S} B · nds,

då B(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{1}^{2}x_{2}, x_{1}x_{3}, −2x_{1}x_{2}x_{3}) och normalen n har positiv x_{3}-komponent. (4p)

5 a) Visa att fältet u(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (x_{2} + 2x_{1}, x_{1}, x_{3}^{2}) är konservativt i R^{3}. (4p)

b) Bestäm en potential φ(x_{1}, x_{2}, x_{3}) så att u = ∇φ. (2p)

c) Beräkna kurvintegralen

∫_{Γ} u · ds,

där Γ = {x ∈ R^{3} : (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (2 − cos(πt), 1 + sin(πt), t), t ∈ [0, 1]}. (4p)